光は横波である、だがウネウネしているわけではない

光は横波である、だがウネウネしているわけではない。

これって、物理をちゃんと知っている人にとっては当たり前なのだけど、物理をいい加減に追いかけている人は勘違いしやすいところ。

マクスウェルの方程式を思い出そう。っていうか思い出すまでもないか?光の波の振幅というのは電場の強さが単位である。長さの次元ではない。

空間の中でウネウネしているわけではなく、電場という測定可能な物理量が方向性をもって振動しているということである。電場という測定可能な物理量は、空間中の位置とは別の次元を持っている。

「光線」というモデルはあくまで直進しており、波長ほど細かくみてもウネウネしていたりはしない。光子の軌道を無理やり古典的に描いても、やはりウネウネさせるのは不適切である。量子力学において光子の軌道をどのように描くべきか?描けない。

とはいえ教科書にはウネウネした絵がかいてあるし、確かに縦波ではないとしっかり描いてある。でも物理を学ぶなら、「何か」が空間中をウネウネしているわけではないということは認識しておいた方が良い。

そうしないと、変なところで迷子になってしまうかもしれない。いまいちど、心をきれいにして想像してもらいたい。

 

 

 

なんで制御ではラプラス変換を使うのか

なんで制御工学ではフーリエ変換ではなくラプラス変換を使うのか?

これは簡単な話である。

「フーリエ変換できないから」だ。

制御で扱う関数のうち、代表的なものを見てみよう。例えば、「ステップ関数」時刻ゼロで1になるようなステップ関数だ。

このような関数は、フーリエ積分できない。両側に無限大まで積分したら、積分が発散してしまうだろう。だから、関数に指数減衰する項をかけてから、積分するのだ。これがラプラス変換である。

ラプラス変換は、フーリエ変換同様に、特定周波数成分を基底とする変換であって、線形成を失わない。これは、指数関数の性質を数学的に追いかて説明するべきだが、ここではしない。exp()が素晴らしい関数であるということを知っておけ。

線形微分方程式が解きたい。線形代数で解ける問題に変換したい。だったらフーリエ変換しよう。フーリエ積分できなくても、ラプラス変換してみよう。だめなら、ほかの直行空間に関数を写像しよう。でもラプラス変換までで大抵の問題は扱える。

制御工学ではラプラス変換、信号処理ではフーリエ変換、量子力学もフーリエ変換、

そんな感じだ。

選挙運動みたいだが、よろしく。

 

 

 

 

 

フーリエ変換の基底

フーリエ変換をなんのためにするのか?

  • 周波数特性を見るためである(電機屋)
  • 輝線・吸収線を探すためである(天文学者)
  • その線幅からドップラー効果が見えるかもしれない(気象屋)
  • 変動のタイムスケールからチャンスがつかめるかも?(相場師)

いろいろある。

でも、その本質はなんだろうか?って話をしよう。

フーリエ変換

フーリエ級数ってなんだろうか?「正弦関数の線形和である関数を表現する」というものである。フーリエ変換ってなんだろうか?正弦関数の基本周波数を無限小にした極限におけるフーリエ級数のことだ。

では、なんでジョセフ・フーリエは正弦関数の級数を採用すると幸せになれたのだろうか?っていうことが問題なのだ。

線形空間

我々は「線形空間」という概念をもっている。ある空間において「内積」と「和」が定義でき、そこに線形成が約束されるなら、それは線形空間である。

線形空間はスカラーで表されるかもしれないし、ベクトルで表されるかもしれない。あるいは数学以外の形で表現されているかもしれない。けれども、そこに線形成が認められるなら線形空間である。

線形空間では、その次元と同じ数の「基底」を見出すことができる。それぞれの基底は互いに直行している。つまり、n本の座標軸が互いに直行した空間を想像することができると言っているのである。

フーリエ変換における基底

フーリエ級数において、それぞれの正弦関数は基底である。

フーリエ変換というのは各振動数成分を取り出していること、それぞれの振動数成分の線形和が関数に一致すること、このとき線形和の取り方はただ一通りだけであることが大切なのである。

それを数学の言葉で言えば、正弦関数が基底だということである。

無限次元線形空間

フーリエ空間において正弦関数が基底であるとしたら、その基底の数はいくつあるだろうか?もちろん、無限個である。任意のλに対応する正弦関数が基底だからだ。

フーリエ変換は関数を無限次元の無限個の基底の線形和で表現する変換なのである。

畳み込み積分って何だろう?

フーリエ変換同士の掛け算は、関数同士の畳み込み積分となる。

この演算は何をしていると考えればよいのか?

無限個の基底を持つものとして表現された関数同士の、無限次元空間における「内積」を求める演算に相当する。

内積を求めるのにはどのような意味があるか?この量を、絶対値で割れば、この線形空間における方向余弦が得られる。無限次元空間における方向余弦といってもピンとこないとおもうかもしれないが、これは方向余弦である。

そして、数学の表現を使うなら、関数同士の「相互相関」である。

関数同士の相互相関とは、二つの関数をある無限次元の線形空間に表現し、その空間における方向余弦を求める操作におかならない。

方向がよく一致していれば、方向余弦cosは、1になる。正反対の方向を向いていれば-1となる。直行していれば0となる。

三平方の定理は世界最古の定理?

ピタゴラスの定理の内容は最も早く最も広まった数学の法則の一つであると言われている。

ピタゴラス数のうちのいくつかの振る舞いを調べたり、その法則性に注目しているに過ぎないという人もいるが、これってとても大切なことである。図面に絵を描いて、それを拡大しようという動機が十分にあったということだからだ。

建造物が作られたような古代文明においては、ほとんど確実にピタゴラス数への関心があった。紀元前1800~800年ごろになると確実な文書記録が見つかるようになり、この時代にはエジプトなどで円周率の近似値も見出されるようになる。

数学てきな一般性の証明が文書記録に現れるのはエウクレイデスの原論まで時代を下ることになる。ここまでくると紀元前3世紀である。人類が最初に直角三角形に関心を持ってから、少なくとも1500年くらいは時間が経っていると想像するのは愉しい。

ちなみに、世界最古のピタゴラス数の記録ではないかと指摘されているのは、イシャンゴの骨と呼ばれる考古学記録である。所説あるものの、もし本当だとすれば2万年以上前に人類がピタゴラス数の概念にたどりついていたことになる。いうまでもなく、最終氷期が終わる前であり、建造物はまだない。旧石器時代に相当する。

三角関数が分かるってなんだろう?

「三角関数が分かる」

変な日本語を耳にした。三角関数が分かるってなんだろう?って思った。

三角比が分かるだけで三角関数が分かった気になってる人もいれば、

周期関数の式にでてくるという事実を知ってるだけで分かった気になっているひともいる。

フーリエ変換にでてくることをしってて、それで分かってる気になっている人もいる。

フーリエ変換の意味を理解して、三角関数が分かったと思い始める人もいる。

そう、せめてその線形性がどのように生じ、生かされ、見出されるのかを理解しておかないと、三角関数が分かるとは言えないのではないだろうか?

そこまで分かれば、「三角関数が分かる」とか「フーリエ変換が分かる」とか「相関の意味が分かる」と言ってよいと思う。

三角関数の意味が分かるってことは、相互相関が関数空間における方向余弦に相当するってことももちろん分かるはずなんだよね。

ってことで、しばらくブログで三角関数をネタにしてみようかな、と思った。